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图书基本信息

Noncommutative Geometry
作者： Alain Connes;
ISBN13： 9780121858605
类型： 精装(精装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 1994-12-01
出版社： Academic Press
页数： 661
重量（克）： 1365
尺寸： 26.289 x 18.4658 x 3.5306 cm

商品简介

This English version of the path-breaking French book on this subject gives the definitive treatment of the revolutionary approach to measure theory, geometry, and mathematical physics developed by Alain Connes. Profusely illustrated and invitingly written, this book is ideal for anyone who wants to know what noncommutative geometry is, what it can do, or how it can be used in various areas of mathematics, quantization, and elementary particles and fields.

• First full treatment of the subject and its applications
• Written by the pioneer of this field
• Broad applications in mathematics
• Of interest across most fields
• Ideal as an introduction and survey
• Examples treated include:
• the space of Penrose tilings
• the space of leaves of a foliation
• the space of irreducible unitary representations of a discrete group
• the phase space in quantum mechanics
• the Brillouin zone in the quantum Hall effect
• A model of space time

拓扑弦论中的新视角 本书深入探讨了弦论在拓扑场论框架下所展现出的丰富数学结构。重点关注了共形场论（Conformal Field Theory, CFT），特别是那些与二维拓扑量子场论（Topological Quantum Field Theory, TQFT）紧密相关的模型。我们将从基础的共形对称性出发，逐步构建起系统的理论框架，旨在揭示底层几何结构与量子物理之间的深刻联系。 第一部分：共形场论基础与对称性 本部分将首先奠定理解拓扑弦论所需的数学和物理基础。 第1章：二维共形场论入门 1.1 场论的重整化群流与尺度不变性： 详细阐述了共形对称性在量子场论中的精确体现，即李代数$mathfrak{su}(1,1) oplus mathfrak{u}(1)$（或更一般地，无限维的维拉索罗代数（Virassoro Algebra））。我们着重分析中心荷$c$的物理意义，以及它如何量度理论的自由度。 1.2 构造 Verma 模与最小模型： 探讨了如何利用 Verma 模来构造原初（Primary）算符的表示。重点分析了参数为整数或有理数的最小模型（Minimal Models），它们是研究二维重力与共形场论耦合的理想平台。 1.3 算符乘积展开（Operator Product Expansion, OPE）： 详细讲解了 OPE 在共形场论中的核心作用，如何通过 OPE 矩阵来捕捉场之间的关联。 第2章：共形块与莫雷变换 2.1 响应函数的分解： 介绍如何将关联函数分解为具有特定对称性的共形块（Conformal Blocks）。这些块本质上是共形群在场空间的表示的泛函。 2.2 莫雷矩阵与谱隙： 讨论了莫雷（Crossing Symmetry）的原理，即分析四点函数在不同通道下的变换关系。这一变换由莫雷矩阵描述，该矩阵的特征值与理论的谱结构紧密相关。 2.3 拓扑场的限制： 分析当中心荷取特定值时（例如$c=0$或$c=1$的某些情形），共形场论如何退化为某种形式的拓扑场论，此时莫雷矩阵结构会极大地简化。 第二部分：拓扑量子场论与几何联系 本部分将侧重于将共形场论转化为真正的拓扑理论，并探讨其与代数几何的交叉点。 第3章：背景无关性与Toda场论 3.1 规范场与背景独立性： 讨论在弦论背景下，如何实现背景独立性——即理论的物理内容不依赖于特定的背景度规。这通常通过规范场（Gauge Fields）的引入来实现。 3.2 WZNW 模型与 Toda 场论： 深入研究Wess-Zumino-Witten (WZNW) 模型，并展示如何将其推广到无穷维李群上的 Toda 场论。Toda 场论在研究二维引力背景下的共形场论方面具有核心地位。 3.3 弦的运动方程与经典极限： 分析在经典极限下，弦的运动方程如何被满足，以及这如何与 CFT 的 $eta$-函数在低阶展开中保持零的要求相对应。 第4章：A型与B型拓扑弦 4.1 维度约化与拓扑规范： 介绍如何通过对世界面（Worldsheet）的度规进行拓扑规范（Topological Twist），将世界面上的超共形场论（Superconformal Field Theory, SCFT）约化为纯粹的 TQFT。我们区分 A 型（保留复结构）和 B 型（保留辛结构）的拓扑旋转。 4.2 A型弦：Kähler几何的关联： 详细分析 A 型拓扑弦如何与目标空间（Target Space）的 Kähler 几何相关联。重点讲解 Gromov-Witten (GW) 不变量的定义，它们是 A 型弦理论中对不动点（Fixed Points）计数的结果，本质上是代数几何中穿有理曲线的计数。 4.3 B型弦：Calabi-Yau 流形的复几何： 阐述 B 型拓扑弦如何探测目标空间的 Calabi-Yau 流形的复结构参数。研究 B 型链复形（B-model Chain Complex）如何直接编码了目标空间的霍奇数和奇点信息。 第三部分：代数结构与几何对偶 本部分将探讨拓扑弦论中涌现出的深刻的代数结构，特别是它们如何揭示不同理论之间的对偶性。 第5章：同调代数与镜像对称的代数基础 5.1 拓扑弦中的 KvD 同调： 探讨在 A 型和 B 型弦中，关联函数如何通过对世界面上的拉普拉斯算符（Laplacian Operator）进行积分，从而转化为对目标空间上特定差分算子的积分，这与度量同调（Derived Homology）的概念相关。 5.2 奇点理论与镜像对偶的源头： 讨论在奇点附近，拓扑弦理论展现出的强大能力。奇点处的物理行为（如拓扑吸引子机制）预示了镜像对偶（Mirror Symmetry）的存在。 5.3 黎曼-希尔伯特对应（RH Correspondence）： 引入黎曼-希尔伯特对应作为理解共形场论中黎曼曲面上的穿孔（Punctures）和模空间几何结构的强大工具。 第6章：弦对偶性与几何重构 6.1 T 对偶性：紧化空间的几何变换： 讨论 T 对偶性（T-Duality）作为一种变换，它将一个背景下的紧化理论等价地映射到另一个背景下的理论。分析 T 对偶如何导致目标空间的几何结构发生对偶变换（例如，将一个流形的圆环方向上的物理态对偶到另一个流形上的其他自由度）。 6.2 几何重构与弦场论： 探讨如何通过理解拓扑弦的性质，来“重构”出缺失的几何信息。这包括弦场论（String Field Theory）中的一些基本概念，特别是在 B 型弦中，如何用代数方法来描述整个 Calabi-Yau 几何的结构。 6.3 弦的分类与对应： 总结并对比不同类型的拓扑弦（如 A 型、B 型、以及非超对称的例子）在不同几何背景下的行为，强调它们是如何服务于理解更高维度的M理论中的几何对偶。 本书的最终目标是提供一个清晰的路径，从基础的二维量子场论出发，导向描述复杂几何空间的深刻工具，特别关注拓扑不变量的计算及其背后的代数结构。